Удобным инструментом при изучении предельных переходов является понятие бесконечно малой последовательности. Последовательность { _n } называется бесконечно малой, если _n 0 при n . Докажем основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Свойство 3.3.1 Сумма и разность бесконечно малых последовательностей { _n } и { _n } есть бесконечно малая последовательность

Доказательство. Возьмем произвольное 0. Тогда

N₁ n N₁ : | _n | / 2
N₂ n N₂ : | _n | / 2
Тогда
n N = max { N₁, N₂ } : | _{n n} | | _n | + | _n |

Свойство 3.2.3 Произведение { _{n n} } бесконечно малой последовательности { _n } на ограниченную последовательность { _n } есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Из ограниченности { _n } следует, что сущесвует M 0, что для всех n : | _n | M. Следовательно, для любого положительного 0, по положительному / M 0 cуществует N , что для всех n : | _n | / M. Поэтому, для этих n N : | _nn | = | _n | | _n | M / M = .
Следовательно, по определению Коши, _nn 0 при n

Свойство 3.3.3 Для того, чтобы последовательность { x_n } сходилась к некоторому числу а необходимо и достаточно, чтобы существовала бесконечно малая последовательность { a_n }, такая, что для всех n выполнялось x_n = а + a_n

Доказательство. Необходимость. Пусть x_n а при n . Рассмотрим a_n = x_n - а, тогда из определения сходимости x_n а следует, что a_n 0 при n
Достаточность. Если x_n = а + a_n, то из того, что { a_n } бесконечно малая последовательность и a_n = x_n - а следует, что x_n а при n .

Последовательность { x_n } называется бесконечно большой, если
E 0 N ( E ) n N ( E ) : | x_n | E
Этот факт мы будем записывать так : x_n при n или

^{Пример 3.3.1 , бесконечно малые последовательности ( см. примеры 3.1.1 и 3.1.2 ),}
{ (- 1)ⁿ } бесконечно большая последовательность. Действительно, возьмем любое E 0, рассмотрим неравенство | (- 1)ⁿn | = n E, тогда N ( E ) = [ E ] + 1 и для любого
n N ( E ) : | (- 1)ⁿn | = n N ( E ) = [ E ] + 1 E
^{Пример 3.3.2}
при n , если а 1. Действительно,

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности тесно связаны между собой.

Теорема 3.3.1 Последовательность { _n }, _n 0 является бесконечно малой последовательностью тогда и
^{только тогда, когда последовательность является бесконечно большой.}

Доказательство следует из того факта, что неравенство | _n | равносильно неравенству
^{E = и определений бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.}