Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

Для раскрытия неопределенностей 1∞, 10, ∞0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Примеры.

  1. .
  2. .
  3. .

  5. Обозначим .

    Прологарифмируем это равенство . Найдем .

    Так как lny функция непрерывная, то . Следовательно, или

    Правило Лопиталя.


       Теорема. Пусть функции f(x) и j(x) имеют в окрестности точки x0 непрерывные производные f '(x) и j'(x) и пусть f(x0) = j(x0) = 0 и j(x) № 0, j'(x) № 0 в окрестностях точки x0, кроме, быть может самой точки x0. Пусть далее существует предел . Тогда
       Доказательство. Зафиксируем близкое к x0 значение x № x0 и рассмотрим вспомогательную функцию
    Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на интервале [x0 , x] ибо f(t) и j(t) дифференцируемы по условию и Ф(x0) = 0 (так как f(x0) = j(x0) = 0 и Ф(x) = 0.
       Поэтому между x и x0 найдется такая точка x, что Ф'(x) = 0, т.е. , откуда
         (1)
       Так как и при x®x0 также x®x0, то , и согласно равенству (1) находим:
       Теорема доказана.
       Если в окрестности точки x0 функции f(x) и j(x) имеют вторые производные, причем f '(x0) = j'(x0) = 0 и j'(x) № 0, j''(x) № 0, и существует , то, применяя правило Лопиталя к отношению , получаем
       Правило Лопиталя служит для раскрытия неопределенностей вида при вычислении пределов отношений .
       В курсах математического анализа показывается, что такое же правило применимо и к неопределенностям вида , µ-µ и других.

    Правило Лопиталя

    По правилу Лопиталя вычисление предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций сводится к вычислению предела отношения их производных.

    Правило Лопиталя для отношения бесконечно малых функций

    Теорема 1. Если

    1. функции f(x) и g(x) определены и имеют производные f '(x) и g '(x) ≠ 0 в некоторой окрестности точки a, кроме быть может самой точки a;
    2. lim
      x → a
      f(x) =
      lim
      x → a
      g(x) = 0;
    3. существует (конечный или бесконечный)
      lim
      x → a
       
      f '(x)
      g '(x)
       .
    Тогда существует (конечный или бесконечный)
    lim
    x → a
     
    f(x)
    g(x)
     ,  причем
     
    lim
    x → a
     
    f(x)
    g(x)
       =  
    lim
    x → a
     
    f '(x)
    g '(x)
     .
     

    Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 123.

    Замечание. Если

     
    lim
    x → a
    f(x) ≠ 0     и    
    lim
    x → a
    g(x) ≠ 0 ,
     
    то применение правила Лопиталя приведет к ошибочному результату.

    Теорема 2. Если

    1. функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в интервале (b, + ∞), причем g'(x) ≠ 0 при всех x О (b, + ∞);
    2. lim
      x → + ∞
      f(x) =
      lim
      x → + ∞
      g(x) = 0;
    3. существует (конечный или бесконечный)
      lim
      x → + ∞
       
      f'(x)
      g'(x)
       .
       
    Тогда существует (конечный или бесконечный)
    lim
    x → + ∞
     
    f(x)
    g(x)
          , причем
     
    lim
    x → + ∞
     
    f(x)
    g(x)
       =  
    lim
    x → + ∞
     
    f'(x)
    g'(x)
     .
     

    Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 126.

    Аналогично формулируется и доказывается правило Лопиталя при x → − ∞.

    Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших функций

    Теорема 3. Если

    1. функции f(x) и g(x) определены и имеют производные f '(x) и g '(x) ≠ 0 в некоторой окрестности точки a, кроме быть может самой точки a;
    2. lim
      x → a
      f(x) =
      lim
      x → a
      g(x) = ∞;
    3. существует (конечный или бесконечный)
      lim
      x → a
       
      f'(x)
      g'(x)
       .
    Тогда существует
    lim
    x → a
     
    f(x)
    g(x)
          , причем
     
    lim
    x → a
     
    f(x)
    g(x)
          =
    lim
    x → a
     
    f'(x)
    g'(x)
    .
     

    Замечание. Следующие пределы вычисляются сведением их к пределам отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций и поименением правила Лопиталя:

     
    1.
    lim
    x → a
    f(x) · g(x) ,  если  
    lim
    x → a
    f(x) = 0   и  
    lim
    x → a
    g(x) = ∞ .
     
    2.
    lim
    x → a
    [ f(x) − g(x) ] ,   если  
    lim
    x → a
    f(x) = ∞   и  
    lim
    x → a
    g(x) = ∞ ;
     
    3.
    lim
    x → a
    [f(x)]g(x) , если выполняется любое из трех условий:
     
            а)
    lim
    x → a
    f(x) = 0   и
    lim
    x → a
    g(x) = 0;
     
            б)
    lim
    x → a
    f(x) = 1   и
    lim
    x → a
    g(x) = ∞;
     
            в)
    lim
    x → a
    f(x) = ∞   и
    lim
    x → a
    g(x) = 0.
© 2008-2025
Админ