t1m.edu Удобным инструментом при изучении предельных переходов является понятие бесконечно малой последовательности. Последовательность { n } называется бесконечно малой, если n 0 при n . Докажем основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Свойство 3.3.1 Сумма и разность бесконечно малых последовательностей { n } и { n } есть бесконечно малая последовательность

Доказательство. Возьмем произвольное 0. Тогда

N1 n N1 : | n | / 2
N2 n N2 : | n | / 2

Тогда
n N = max { N1, N2 } : | n n | | n | + | n |

Свойство 3.2.3 Произведение { n n } бесконечно малой последовательности { n } на ограниченную последовательность { n } есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Из ограниченности { n } следует, что сущесвует M 0, что для всех n : | n | M. Следовательно, для любого положительного 0, по положительному / M 0 cуществует N , что для всех n : | n | / M. Поэтому, для этих n N : | nn | = | n | | n | M / M = .
Следовательно, по определению Коши, nn 0 при n

Свойство 3.3.3 Для того, чтобы последовательность { xn } сходилась к некоторому числу а необходимо и достаточно, чтобы существовала бесконечно малая последовательность { an }, такая, что для всех n выполнялось xn = а + an

Доказательство. Необходимость. Пусть xn а при n . Рассмотрим an = xn - а, тогда из определения сходимости xn а следует, что an 0 при n
Достаточность. Если xn = а + an, то из того, что { an } бесконечно малая последовательность и an = xn - а следует, что xn а при n .

Последовательность { xn } называется бесконечно большой, если
E 0 N ( E ) n N ( E ) : | xn | E

Этот факт мы будем записывать так : xn при n или

Пример 3.3.1 , бесконечно малые последовательности ( см. примеры 3.1.1 и 3.1.2 ),
{ (- 1)n } бесконечно большая последовательность. Действительно, возьмем любое E 0, рассмотрим неравенство | (- 1)nn | = n E, тогда N ( E ) = [ E ] + 1 и для любого
n N ( E ) : | (- 1)nn | = n N ( E ) = [ E ] + 1 E
Пример 3.3.2
при n , если а 1. Действительно,

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности тесно связаны между собой.

Теорема 3.3.1 Последовательность { n }, n 0 является бесконечно малой последовательностью тогда и
только тогда, когда последовательность
является бесконечно большой.

Доказательство следует из того факта, что неравенство | n | равносильно неравенству
E = и определений бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. © 2008-2016
Админ