Свойство 3.3.1 Сумма и разность бесконечно малых последовательностей { n } и { n } есть бесконечно малая последовательность
Доказательство. Возьмем произвольное 0. Тогда
Свойство 3.2.3 Произведение { n n } бесконечно малой последовательности { n } на ограниченную последовательность { n } есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Из ограниченности
{ n }
следует, что сущесвует M
0, что для всех n
: | n |
M. Следовательно, для любого
положительного
0, по положительному
/ M
0 cуществует N
,
что для всех n
:
| n |
/ M.
Поэтому, для этих n
N : | nn | =
| n |
| n |
M / M =
.
Следовательно, по определению Коши,
nn
0 при n
Свойство 3.3.3 Для того, чтобы последовательность
{ xn } сходилась к
некоторому числу а необходимо и
достаточно, чтобы существовала бесконечно малая последовательность
{ an }, такая, что для всех
Доказательство. Необходимость. Пусть xn
а при n
.
Рассмотрим an =
xn - а,
тогда из определения сходимости xn
а следует, что
an 0 при
n
Достаточность. Если xn =
а + an,
то из того, что { an }
бесконечно малая последовательность и
an = xn -
а следует, что
xn
а при n
.
Пример 3.3.1
,
бесконечно малые последовательности
( см. примеры 3.1.1 и 3.1.2 ),
{ (- 1)n } бесконечно
большая последовательность. Действительно, возьмем любое
E 0, рассмотрим
неравенство | (- 1)nn | = n
E, тогда
N ( E ) = [ E ] + 1 и для любого
n
N ( E ) : | (- 1)nn | =
n N ( E ) =
[ E ] + 1 E
Пример 3.3.2
при n
,
если а 1. Действительно,
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности тесно связаны между собой.
Теорема 3.3.1 Последовательность
{ n },
n
0
является бесконечно малой последовательностью
тогда и
только тогда, когда последовательность
является бесконечно большой.