Например, для функции y = n² можно записать:

y₁ = 1² = 1;

y₂ = 2² = 4;

Свойства числовых последовательностей. Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y₁ < y₂ < y₃ < … < y_n < y_n+1 < ….

Определение. Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y₁ > y₂ > y₃ > … > y_n > y_n+1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y₁ = 1; y_n = n²

^{Пример 2. y₁ = 1; – убывающая последовательность.}

^{Пример 3. y₁ = 1; src="image006.gif" align="absmiddle"> – эта последовательность не является невозрастающей и неубывающей.}

^{Определение. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство y_n = y_n+T . Число T называется длиной периода.}

^{Пример. Последовательность периодична с длиной периода T = 2.}

^{Арифметическая прогрессия. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.}

^{Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {a_n}, заданная рекуррентно соотношениями}

^{a₁ = a, a_n = a_n–1 + d (n = 2, 3, 4, …)}

^{(a и d – заданные числа).}

^{Пример. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой a₁ = 1, d = 2.}

^{Пример. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой a₁ = 20, d = –3.}

^{Нетрудно найти явное (формульное) выражение a_n через n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.}

^{a_n = a₁ + d(n – 1).}

^{Это формула n-го члена арифметической прогрессии.}

^{Используя явное выражение a_n через n, можно доказать следующее свойство арифметической прогрессии: если натуральные числа i, j, k, l таковы, что i + j = k + l, то a_i + a_j= a_k + a_l. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить i, j, k и l вместо n в формулу n-го члена арифметической прогрессии и сложить. Отсюда следует, что если рассматривать первые n членов арифметической прогрессии, то суммы членов, равно отстоящих от концов, будут одинаковы:}

^{a₁ + a_n = a₂ + a_n–1 = a₃ + a_n–2 = … = 2a₁ + (n – 1)d.}

^{Последнее равенство позволяет вычислить сумму первых n членов арифметической прогрессии:}

^{S_n = a₁ + a₂ + … + a_n–1 + a_n.}

^{С этой целью берется еще одна такая же сумма, но слагаемые записывается в обратном порядке:}

^{S_n = a_n + a_n–1 + … + a₂ + a₁.}

^{Далее она складывается почленно с исходной суммой, причем слагаемые сразу попарно группируются. В результате}

^{2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n–1) + … + (a_n + a₁) = n(2a₁ + (n – 1)d),}

^{откуда . Это формула суммы n членов арифметической прогрессии.}

^{Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего. Действительно, так как}

^{a_n = a_n–1 + d;}

^{a_n = a_n+1 – d.}

^{Сложение двух последних равенств дает .}

^{Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.}

^{Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?}

^{Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению}

^{5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.}

^{Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.}

^{Геометрическая прогрессия. Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.}

^{Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b_n}, заданная рекуррентно соотношениями}

^{b₁ = b, b_n = b_n–1 q (n = 2, 3, 4…).}

^{(b и q – заданные числа, b № 0, q № 0).}

^{Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.}

^{Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.}

^{Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.}

^{Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b₁ > 0, q > 1, и убывающей, если b₁ > 0, 0 < q < 1.}

^{Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.}

^{b₁2, b₂2, b₃2, …, b_n2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b₁2, а знаменатель – q2.}

^{Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид}

^{b_n = b₁qn–1.}

^{Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.}

^{Пусть дана конечная геометрическая прогрессия}

^{b₁, b₂, b₃, …, b_n}

^{пусть S_n – сумма ее членов, т.е.}

^{S_n= b₁ + b₂+ b₃ + … + b_n.}

^{Принимается, что q № 1. Для определения S_n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S_nq.}

^Тогда

^{S_nq = (b₁ + b₂ + b₃+ … + b_n–1 + b_n)q = b₂ + b₃ + b₄ + …+ b_n + b_nq = S_n+ b_nq – b₁.}

^{Таким образом, S_nq = S_n + b_nq – b₁ и, следовательно,}

^.

^{Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q № 1.}

^{При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S_n = a₁n.}

^{Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как}

^{b_n= b_n-1q;}

^{b_n= b_n+1/q,}

^{следовательно, b_n2= b_n–1 b_n+1 и верна следующая теорема (характеристическое свойство геометрической прогрессии):}

^{числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.}

^{Предел последовательности. Пусть есть последовательность {c_n} = {1/n}. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число , или . С ростом n все члены геометрической прогрессии убывают и их значение приближается к нулю. В этом случае принято говорить, что при n, стремящемся к бесконечности, данная последовательность сходится и нуль есть ее предел. Записывается это так:}

^.

^{Строгое определение предела формулируется следующим образом:}

^{Если существует такое число A, что для любого (сколь угодно малого) положительного числа e найдется такое натуральное N (вообще говоря, зависящее от e), что для всех n і N будет выполнено неравенство |a_n – A| < e, то говорят, что последовательность {a_n} сходится и A – ее предел.}

^{Обозначается это так: .}

^{В противном случае последовательность называется расходящейся.}

^{Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c_n} = {1/n}. Пусть e – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность}

^.

^{Существует ли такое N, что для всех n і N выполняется неравенство 1/N < e? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/e, то для всех n і N выполняется неравенство 1/n Ј 1/N < e , что и требовалось доказать.}

^{Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.}

^{Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.}

^{Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.}

^{Теорема 3. Если последовательность {a_n} имеет предел A, то последовательности {ca_n}, {a_n + с} и {| a_n|} имеют пределы cA, A + c, |A| соответственно (здесь c – произвольное число).}

^{Теорема 4. Если последовательности {a_n} и {b_n} имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {pa_n + qb_n} имеет предел pA + qB.}

^{Теорема 5. Если последовательности {a_n} и {b_n}имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a_nb_n} имеет предел AB.}

^{Теорема 6. Если последовательности {a_n} и {b_n} имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b_n № 0 и B № 0, то последовательность {a_n / b_n} имеет предел A/B.}