Функция y=f ( x ) называется возрастающей ( убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ) ( f (x 1 ) > f (x 2 )).
Если дифференцируемая функция y = f ( x ) на отрезке [ a , b ] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢ ( x ) > 0 ( f ¢ ( x ) < 0).
Точка x о называется точкой локального максимума ( минимума ) функции f ( x ), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f ( x ) £ f ( x о ) ( f ( x ) ³ f ( x о )).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f ( x ), то либо f ¢ ( x о ) = 0, либо f ¢ ( x о ) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f ¢ ( x ) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.
Второе достаточное условие.
Пусть функция
f
(
x
) имеет производную
f
¢
(
x
) в окрестности точки
x
о
и вторую производную
в самой точке
x
о
. Если
f
¢
(
x
о
) = 0,
>0 (
<0), то точка
x
о
является точкой локального минимума (максимума) функции
f
(
x
). Если же
=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке [ a,b ] функция y = f ( x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [ a,b ].
Пример 3.22. Найти экстремумы функции f ( x ) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение.
Так как
f
¢
(
x
) = 6x
2
- 30x +36 = 6(
x
-2)(
x
- 3), то критические точки функции x
1
= 2 и x
2
= 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x
1
= 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x
2
= 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x
2
= 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x
1
= 2 и x
2
= 3, найдем экстремумы функции: максимум
f
(2) = 14 и минимум
f
(3) = 13.
Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Решение.
Обозначим стороны площадки через
x
и
y
. Площадь площадки равна S =
xy
. Пусть
y
- это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x +
y
=
a
. Поэтому
y
=
a
- 2x и S =
x
(
a
- 2x), где 0
£
x
£
a
/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными).
S
¢
= a - 4x, a - 4x = 0
при
x = a/4,
откуда
y = a - 2
×
a/4 =a/2.
Поскольку
x
=
a
/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При
x
<
a
/4 S
¢
>0, а при
x
>
a
/4 S
¢
<0, значит, в точке
x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
функции
S(a/4) = a/4(a - a/2) = a
2
/8 (
кв
.
ед
).
Поскольку S непрерывна на [0, a /2] и ее значения на концах S(0) и S( a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 p » 50 м 3. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение.
Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2
p
R(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V =
p
R
2
Н
Þ
Н = V/
p
R
2
=16
p
/
p
R
2
= 16/
R
2. Значит, S(R) = 2
p
(R
2
+16/R). Находим производную этой функции:
S
¢
(R) = 2
p
(2R- 16/R
2
) = 4
p
(R- 8/R
2
). S
¢
(R) = 0 при R
3
= 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4