Локальный экстремум функций нескольких переменных. Необходимые условия безусловного локального экстремума.
Опр: Пусть дана функция n-переменных
Пусть дана точка M0 с координатами , точка M0 называется локальным max(min) если $ dокр точки M0 : "x Îdокр справедливо
( "x Î dокр ), dокр называется множество (в n мерном пространстве).
Опр: локального экстремума. Точка локального max или min называются точкой экстремума.
Необходимые условия экстремума функции многих переменных.
Опр: стационарной точки. Если функция дифференцируема в точке M0 то необходимым условием существования экстремума в этой точке является требование ее стационарности:
( , если )
Стационарная точка – точка где все частные производные по всем аргументам равны 0.
Д-во: Зафиксируем все переменные оставив только x1,
фиксируя любую другую переменную получаем тоже самое.
Опр: Необходимое условие экстремума.
В точке экстремума функции n-переменных дифференциал обращается в ноль.
|
Если локальный экстремум , если - независимы
Замечание: если выполнено необходимое условие экстремума то она не обязательно является экстремумом.
Истина: Если точка – стационарная , то она не обязательно – экстремум , ВООБЩЕ ГОВОРЯ !
Экстремум же всегда является стационарной точкой !
Пример : (0,0), x>0, y>0 ® z>0, x<0, y<0® z<0, но dz =0.
© 2008-2024