Локальный экстремум функций нескольких переменных. Необходимые условия безусловного локального экстремума.
Опр: Пусть дана функция
n-переменных
Пусть дана точка M0 с координатами , точка M0 называется локальным max(min)
если $ dокр точки
M0 : "x Îdокр справедливо
( "x Î dокр ), dокр называется множество
(в n мерном
пространстве).
Опр: локального экстремума. Точка локального max или min называются точкой экстремума.
Необходимые условия экстремума функции многих переменных.
Опр: стационарной точки.
Если функция дифференцируема в точке
M0 то необходимым
условием существования экстремума в этой точке является требование ее стационарности:
(
, если
)
Стационарная точка – точка где все частные производные по всем аргументам равны 0.
Д-во:
Зафиксируем все переменные оставив только x1,
фиксируя любую другую переменную получаем тоже самое.
Опр: Необходимое условие экстремума.
В точке экстремума функции n-переменных дифференциал обращается в ноль.
|
Если
локальный экстремум ,
если
- независимы
Замечание: если выполнено необходимое условие экстремума то она не обязательно является экстремумом.
Истина: Если точка – стационарная , то она не обязательно – экстремум , ВООБЩЕ ГОВОРЯ !
Экстремум же всегда является стационарной точкой !
Пример
: (0,0), x>0, y>0 ® z>0,
x<0, y<0®
z<0,
но dz =0.