Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия экстремума функции.

   Теорема 1.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом интервале.
   Доказательство. Возьмем x₁ < x₂ из интервала (a, b). Для функции f(x) на интервале [x₁ , x₂] выполнены все условия теоремы Лагранжа. Поэтому
f(x₂ ) - f(x₁ ) = (x₂ - x₁ )f '(x₀ ), где x₀ лежит в интервале (x₁ , x₂), а следовательно, и в интервале (a, b). По условию f '(x₀ ) і 0 и x₂ > x₁, следовательно,
f(x₂ ) - f(x₁ ) і 0, или
f(x₂ )і  f(x₁ ) при x₂ > x₁ , что и требовалось доказать.
   Аналогично доказывается и другая теорема.
   Теорема 2. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале.

   Теорема 3. (первый достаточный признак экстремума). Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x₀ или не существует и при переходе через x₀ меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на "+").
   Доказательство. Если производная f '(x) при переходе через x = x₀ меняет знак с "+" на "-", то это означает, что при достаточно малом h производная f '(x) положительна в интервале (x₀ - h, x₀ ) и отрицательна в интервале (x₀ , x₀ + h). Следовательно, функция f(x) в интервале (x₀ - h, x₀ ) возрастает, а в интервале (x₀ , x₀ + h) убывает, то есть в точке x₀ достигает максимума.
   Аналогично доказывается утверждение данной теоремы относительно минимума функции.
   Заметим, что если производная f '(x), обращаясь в нуль в точке x₀, не меняет знака, то в этой точке функция не имеет экстремума, так как с обеих сторон от точки x₀ функция f(x) будет возрастать или убывать.
   Теорема 4. (второй достаточный признак существования экстремума функции). Если в точке x₀ первая производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x₀ функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума, если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x₀ и ее окрестности.
   Доказательство. Докажем необходимость условия существования максимума. Пусть f '(x) = 0,  f ''(x) > 0.
   Так как f ''(x) непрерывна, то в достаточно малом интервале (x₀ - h, x₀ + h) вторая производная положительна: f ''(x) > 0. Это означает, что f '(x) возрастает в этом интервале. Так как при этом f '(x₀ )=0, то f '(x)<0 в интервале (x₀ - h, x₀ ) и f '(x)>0 в интервале (x₀  , x₀ + h).
   Таким образом, функция f(x) убывает в интервале (x₀ - h, x₀ ) и возрастает в интервале (x₀  , x₀ + h). Поэтому в точке x₀ функция f(x) имеет минимум. Аналогично доказывается достаточность условия существования максимума. На рисунке функция f(x) имеет в точке x₁ минимум, в точке x₂ - максимум.
   Второй производной можно воспользоваться при решении задач на отыскание максимума и минимума функции.