Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

  Определение.Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

 Обозначается dyили df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Пусть нам известно значение функции y₀=f(x₀) и ее производной y₀' = f '(x₀) в точке x₀. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x₀)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x₀), то f(x) – f(x₀)≈f'(x₀)·Δx.

Откуда

Примеры.

1. y = x² – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01.

   Имеем Δy≈dy=f'(x)·Δx.

   f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.

   Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04.

2. Вычислить приближенно значение функции в точке x = 17.

   Пусть x₀= 16. Тогда Δx = x – x₀= 17 – 16 = 1, ,

   .

   Таким образом, .

3. Вычислить ln 0,99.

   Будем рассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при х=0,99.

   Положим x₀ = 1. Тогда Δx = – 0,01, f(x₀)=0.

   , f '(1)=1.Поэтому f(0,99) ≈ 0 – 0,01 = – 0,01.