t1m.edu Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

 

  Определение.Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

 Обозначается dyили df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

 

dy = f¢(x)dx.

 

Можно также записать:


дифференциал функции

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δydyили Δy»f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)f'(x0)·Δx.

Откуда

f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

Примеры.

  1. y = x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01.

    Имеем Δydy=f'(x)·Δx.

    f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.

    Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04.

  2. Вычислить приближенно значение функции в точке x = 17.

    Пусть x0= 16. Тогда Δx = xx0= 17 – 16 = 1, ,

    .

    Таким образом, .

  3. Вычислить ln 0,99.

    Будем рассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при х=0,99.

    Положим x0 = 1. Тогда Δx = – 0,01, f(x0)=0.

    , f '(1)=1.Поэтому f(0,99) ≈ 0 – 0,01 = – 0,01.

© 2008-2016
Админ