Пусть функция определена в некоторой окрестности токи , непрерывна в этой точке и , а (рис.2).
Придав произвольное приращение аргументу , так чтобы , перейдем к точке с абсциссой и ординатой , где .
Уравнение прямой, проходящей через точки и (секущей графика функции , имеет вид: , где отношение представляет собой угловой коэффициент секущей (.
Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей , при стремлении точки по графику к точке .
Для того, чтобы секущая при стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой , необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел , то есть , чтобы существовала конечная производная функции в точке .
Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от к пределу при :
Таким образом, получим, что , где - угол наклона касательной к оси (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид
В случае бесконечной производной .
Из уравнения секущей имеем:
Переходя в равенстве к пределу при , получаем уравнение касательной к графику функции в точке в виде , то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку оси абсцисс.
Пусть материальная точка движется прямолинейно и - длина пути, проходимого за время , отсчитываемого от некоторого момента времени .
Для определения скорости в данный момент придадим переменной некоторое приращение , при этом приращение пути будет равно .
Отношение называется в физике величиной средней скорости движения за промежуток времени, начиная с момента времени , и обозначается
Предел называется величиной мгновенной скорости движения в момент времени .
Таким образом, мгновенная скорость в момент времени прямолинейного движения, совершаемого по закону равна значению производной © 2008-2024