Геометрический смысл производной

Пусть функция $f $ определена в некоторой окрестности $U(x_0 )$ токи $x_0 $, непрерывна в этой точке и $y_0 = f(x_0 )$, а $M_0 = (x_0 ,y_0 )$ (рис.2).

\includegraphics{D:/html/work/link1/metod/met33/r2.eps}

Рис. 2

Придав произвольное приращение аргументу $\Delta x$, так чтобы $x_0 + \Delta x \in U(x_0 )$, перейдем к точке с абсциссой $x_0 + \Delta x$ и ординатой $y_0 + \Delta y$, где $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 )$.

Уравнение прямой, проходящей через точки $M_0 $ и (секущей графика функции $f)$, имеет вид: $y = \frac{\Delta y}{\Delta x}\left( {x - x_0 } \right) + y_0 $, где отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ представляет собой угловой коэффициент секущей ($tg\varphi )$.

Касательной к графику функции $f $ в точке $M_0 $ называется предельное положение секущей $M_0 M$, при стремлении точки по графику $f $ к точке $M_0 $.

Для того, чтобы секущая $M_0 M$ при $\Delta x \to 0$ стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой , необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$, то есть , чтобы существовала конечная производная функции $y = f(x)$ в точке $x_0 $.

Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ к пределу при $\Delta x \to 0$:


\begin{displaymath} tg\alpha = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} tg\varphi... ...hop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}. \end{displaymath}

Таким образом, получим, что ${f}'(x_0 ) = tg\alpha $, где $\alpha $ - угол наклона касательной к оси (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции $f $ в точке $M_0 $ имеет вид


\begin{displaymath} y = {f}'(x_0 )(x - x_0 ) + y_0 . \end{displaymath}

В случае бесконечной производной ${f}'(x_0 ) = \infty $.

Из уравнения секущей имеем:


\begin{displaymath} \frac{y}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = x - x_0 + \frac{y_0 }{\frac{\Delta y}{\Delta x}}. \end{displaymath}

Переходя в равенстве к пределу при $\Delta x \to 0$, получаем уравнение касательной к графику функции в точке $x_0 $ в виде $x = x_0 $, то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку $x_0 $ оси абсцисс.

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно и $S = S(t)$ - длина пути, проходимого за время $t$, отсчитываемого от некоторого момента времени $t_0 $.

Для определения скорости в данный момент $t$ придадим переменной $t$ некоторое приращение $\Delta t$, при этом приращение пути будет равно $\Delta S = S(t + \Delta t) - S(t)$.

Отношение $\frac{\Delta S}{\Delta t}$ называется в физике величиной средней скорости движения за промежуток времени, начиная с момента времени $t$, и обозначается


\begin{displaymath} V_{ср} = \frac{\Delta S}{\Delta t}. \end{displaymath}

Предел $\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} V_{ср} = V$ называется величиной мгновенной скорости движения в момент времени $t$.

Таким образом, мгновенная скорость в момент времени $t$ прямолинейного движения, совершаемого по закону $S = S(t)$ равна значению производной ${S}'(t)$
© 2008-2025
Админ