Определение
2. Функция 
называется непрерывной в точке 
если:
(2). Это определение
предъявляет функции следующие требования:1)
функция должна
быть определена в точке и некоторой
ее окрестности.2)
Функция должна
иметь в точке предел.3)
Этот предел должен совпадать со значением
функции в точке . Определение
2 означает, что для непрерывности в точке функции знаки lim и f
функции перестановочны, т.е. 
. Предел функции равен
функции от предела аргумента. Если хотя
бы одно из трех требований предъявляемым к функции в определении 2 не выполняется, то говорят, что функция разрывна в т. или имеет в т. разрыв; при этом предполагается, что функция определена в некоторой окрестности кроме быть может т.. Тогда т. - называется
точкой разрыва функции .
Определение
2 аналитически выражает интуитивное представление о непрерывности графика функции
т.е. кривой .
Например такую кривую можно провести отрывая карандаша от бумаги. x На рисунке: 
тогда
, т.е. Возвращаясь к функции
, можем сказать, что в точке 
нарушается сразу 2 условия непрерывности (неопределенность
в т. и не имеет
предела в этой точке). Поэтому данная функция разрывна в т. . Возвращаясь к
пример 2 видим, что для данной функции нарушается 3 условие непрерывности, поэтому
функция разрывна. Если бы мы придали функции
в точке 
значение 2, то измененная таким образом функция оказалась
бы непрерывной в т. .
