Определение 2. Функция  называется непрерывной в точке  если:  (2). Это определение предъявляет функции  следующие требования:1) функция  должна быть определена в точке  и некоторой ее окрестности.2) Функция  должна иметь в точке  предел.3) Этот предел должен совпадать со значением функции в точке . Определение 2 означает, что для непрерывности в точке  функции знаки lim и f функции перестановочны, т.е. . Предел функции равен функции от предела аргумента. Если хотя бы одно из трех требований предъявляемым к функции  в определении 2 не выполняется, то говорят, что функция  разрывна в т. или имеет в т.  разрыв; при этом предполагается, что функция  определена в некоторой окрестности  кроме быть может т.. Тогда т.  - называется точкой разрыва функции .

Определение 2 аналитически выражает интуитивное представление о непрерывности графика функции т.е. кривой . Например такую кривую можно провести отрывая карандаша от бумаги.  x На рисунке:   тогда , т.е. Возвращаясь к функции , можем сказать, что в точке  нарушается сразу 2 условия непрерывности (неопределенность в т.  и не имеет предела в этой точке). Поэтому данная функция разрывна в т. . Возвращаясь к пример 2 видим, что для данной функции нарушается 3 условие непрерывности, поэтому функция разрывна. Если бы мы придали функции  в точке  значение 2, то измененная таким образом функция оказалась бы непрерывной в т. .