t1m.edu

Первый замечательный предел

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы $\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x}$ и $\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x}$ и докажем, что они равны 1.

Пусть $x \in (0; \frac{\pi}{2})$ . Отложим этот угол на единичной окружности ( $R = 1$ ).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке $(1;0)$ . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

$S_{\triangle OKA} < S_{sect OKA} < S_{\triangle OAL}$ (1)

(где $S s e c t O K A$ — площадь сектора $O K A$ )

$S_{\triangle OKA} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |KH| = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2}$

$S_{sect OKA} = \frac{1}{2} R^2 x = \frac{x}{2}$

$S_{\triangle OAL} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |LA| = \frac{\mathrm{tg} x}{2}$

(из $\triangle OAL$ : $| L A | = tg x$ )

Подставляя в (1), получим:

$\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\mathrm{tg} x}{2}$

Так как при $x \to 0+: \sin x > 0, x > 0, \mathrm{tg} x > 0$ :

$\frac{1}{\mathrm{tg} x} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\sin x}$

Умножаем на $sin x$ :

$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$

Перейдём к пределу:

$\lim_{x \to 0+} \cos x < \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} < 1$

$1 < \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} < 1$

$\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} = 1$

Найдём левый односторонний предел:

$\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x} = \left [ \begin{matrix} u = -x \\ x = -u \\ u \to 0+ \\ x \to 0- \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(-u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{-\sin(u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(u)}{u} = 1$

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0}\frac{\arctan x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{ \frac{x^2}{2} } = 1$

Доказательство следствий [показать]

[править] Второй замечательный предел

$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство второго замечательного предела для случая последовательности (т.е. для натуральных значений x) [показать]

$\blacktriangleleft$ Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e;x\mathcal{2}~\mathbb R$ . Рассмотрим два случая:

1. Пусть $x \rightarrow +\mathcal{1}$ . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: $n\leqslant x<n+1$ , где $n = [x]$ - это целая часть x.

Отсюда следует: $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{x}\leqslant \frac{1}{n}~~\Longleftrightarrow~~1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}\leqslant 1+\frac{1}{n}$ , поэтому

$(1+\frac{1}{n+1})^n<(1+\frac{1}{x})^x\leqslant (1+\frac{1}{n})^{n+1}$ .

Если $x \rightarrow +\mathcal{1}$ , то $n \rightarrow \mathcal{1}$ . Поэтому, согласно пределу $\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e$ , имеем:

$\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n+1})^n = \frac{\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1}}{\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n+1})} = \frac{e}{1}=e$

$\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^{n+1} = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n\cdot \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})=e\cdot 1=e$ .

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов $\lim_{x \to +\infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$ .

2. Пусть $x \rightarrow -\mathcal{1}$ . Сделаем подстановку $- x = t$ , тогда

$\lim_{x \to -\infty}(1 + \frac{1}{x})^x = \lim_{t \to +\infty}(1 - \frac{1}{t})^{-t}= \lim_{t \to +\infty}(\frac{t}{t-1})^t = \lim_{t \to +\infty}(1 + \frac{1}{t-1})^t =$

$= \lim_{t \to +\infty}(1 + \frac{1}{t-1})^{t-1}\cdot \lim_{t \to +\infty}(1 + \frac{1}{t-1})^1 = e\cdot1=e$ .

Из двух этих случаев вытекает, что $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$ для любого x. $\blacktriangleright$

Следствия

$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{k}{x})^x = e^k$

Доказательство следствия

$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{k}{x})^x = \left [ \begin{matrix} u = \frac{k}{x} \\ x = \frac{k}{u} \\ u \to 0 \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{k}{u} = (\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u})^k = e^k$

Следствия из второго замечательного предела:

[править] Замечательный логарифмический предел

$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$

Доказательство предела

$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln(1 + x) = \lim_{x \to 0}\ln((1 + x)^\frac{1}{x}) = \ln e = 1$

[править] Замечательный показательный предел

$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$

Следствия

$\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = 1$ для $a > 0 \,\!$ , $a \neq 1 \,\!$

Доказательство предела

$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = \left [ \begin{matrix} u = e^x - 1 \\ x = \ln(1 + u) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{u}{\ln(1 + u)} = 1$

Доказательство следствия

$\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\ln(a^x)} - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x \ln a} - 1}{x \ln a} = \left [ \begin{matrix} u = x \ln a \\ u \to 0 \\ x \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1$

[править] Замечательный степенной предел

$\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = 1$

Доказательство предела

$\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha x} = \left[ \ln(1+x) \sim x \right] = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha x} - 1}{\alpha x} = 1$