t1m.edu

Докажем основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Свойство 3.3.1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей $\{\alpha_n\}$ и $\{\beta_n\}$ есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Возьмем произвольное $\varepsilon >0$ . Для него

$\begin{displaymath} \exists\ N_1\quad \forall\ n>N_1:\quad \vert\alpha_n\vert<\displaystyle{\frac{\varepsilon }{2}}, \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\exists\ N_2\quad\forall\ n>N_2:\quad \vert\beta_n\vert<\displaystyle{\frac{\varepsilon }{2}}. \end{displaymath}$

Тогда

$\begin{displaymath} \forall\ n>N=\max\left\{N_1,N_2\right\}:\quad \vert\alpha_n\... ...a_n\vert\le\vert\alpha_n\vert+\vert\beta_n\vert<\varepsilon . \end{displaymath}$

Свойство 3.3.2. Произведение $\{\alpha_n\sigma_n\}$ бесконечно малой последовательности $\{\alpha_n\}$ на ограниченную последовательность $\{\sigma_n\}$ есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Из ограниченности $\{\sigma_n\}$ следует существование числа $M>0$ такого, что для всех $n\in{\mathbb{N}}:\ \vert\sigma_n\vert\le M$ . Следовательно, при любом положительном $\varepsilon >0$ для положительного $\varepsilon /M>0$ существует номер $N\in{\mathbb{N}}$ такой, что для всех $n>N:\ \vert\alpha_n\vert<\varepsilon /M$ . Поэтому для этих $n>N$ имеем $\vert\alpha_n\sigma_n\vert=\vert\alpha_n\vert\cdot\vert\sigma_n\vert< \displaystyle{\frac{\varepsilon }{M}}\cdot M=\varepsilon$ . Следовательно, по определению Коши, $\alpha_n\sigma_n\to0$ при $n\to\infty$ .