t1m.edu Докажем основные свойства бесконечно малых последовательностей.


Свойство 3.3.1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей $\{\alpha_n\}$ и $\{\beta_n\}$ есть бесконечно малая последовательность.


Доказательство. Возьмем произвольное $\varepsilon >0$. Для него

\begin{displaymath}
\exists\ N_1\quad \forall\ n>N_1:\quad \vert\alpha_n\vert<\displaystyle{\frac{\varepsilon }{2}},
\end{displaymath}


\begin{displaymath}\exists\
N_2\quad\forall\ n>N_2:\quad \vert\beta_n\vert<\displaystyle{\frac{\varepsilon }{2}}.
\end{displaymath}

Тогда
\begin{displaymath}
\forall\ n>N=\max\left\{N_1,N_2\right\}:\quad
\vert\alpha_n\...
...a_n\vert\le\vert\alpha_n\vert+\vert\beta_n\vert<\varepsilon .
\end{displaymath}

Свойство 3.3.2. Произведение $\{\alpha_n\sigma_n\}$ бесконечно малой последовательности $\{\alpha_n\}$ на ограниченную последовательность $\{\sigma_n\}$ есть бесконечно малая последовательность.


Доказательство. Из ограниченности $\{\sigma_n\}$ следует существование числа $M>0$ такого, что для всех $n\in{\mathbb{N}}:\ \vert\sigma_n\vert\le
M$. Следовательно, при любом положительном $\varepsilon >0$ для положительного $\varepsilon /M>0$ существует номер $N\in{\mathbb{N}}$ такой, что для всех $n>N:\ \vert\alpha_n\vert<\varepsilon /M$. Поэтому для этих $n>N$ имеем $\vert\alpha_n\sigma_n\vert=\vert\alpha_n\vert\cdot\vert\sigma_n\vert<
\displaystyle{\frac{\varepsilon }{M}}\cdot M=\varepsilon $. Следовательно, по определению Коши, $\alpha_n\sigma_n\to0$ при $n\to\infty$.

© 2008-2016
Админ