t1m.edu

Бесконечно малая функция.

Рассмотрим функциюImage337.gif (965 bytes), определенную в некоторой окрестности Image339.gif (1070 bytes)точки Image338.gif (862 bytes), Image340.gif (940 bytes),  за исключением, быть может, самой точки Image341.gif (862 bytes). Функция Image342.gif (965 bytes) называется бесконечно малой при Image343.gif (860 bytes), стремящемся к Image341.gif (862 bytes), если Image344.gif (1119 bytes). Если Image342.gif (965 bytes)— бесконечно малая в точке Image345.gif (915 bytes), то для любого положительного числа Image346.gif (852 bytes), как бы мало оно ни было, существует такое положительное число Image347.gif (870 bytes) , что для всех Image348.gif (860 bytes), удовлетворяющих неравенствуImage349.gif (1090 bytes) , справедливо неравенство Image350.gif (1062 bytes). Неравенства Image351.gif (1062 bytes) для всех Image352.gif (1090 bytes), эквивалентные неравенствам Image353.gif (1055 bytes), Image354.gif (1067 bytes), означают, что для любого Image355.gif (925 bytes)существует такое Image347.gif (870 bytes), что для Image354.gif (1067 bytes)график функции расположен на плоскости в прямоугольнике Image357.gif (933 bytes). Важно, что слова “за исключением, быть может, самой точки ” означают, что нас не интересует сама эта точка. Это можно понять, если рассмотреть функциюImage336.gif (1391 bytes).  При x, стремящемся к нулю, функция-таки стремится к нулю, независимо от того, какое значение она принимает в точке x=0. Следовательно, предел равен нулю и функция является бесконечно малой.  

ПРИМЕР 1. Бесконечно малые функции

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть Image359.gif (950 bytes)и Image360.gif (961 bytes) — две функции, бесконечно малые в точке Image361.gif (915 bytes). Если Image362.gif (1244 bytes), то говорят, что Image363.gif (950 bytes) более высокого порядка малости, чем Image364.gif (961 bytes)и обозначают Image365.gif (1140 bytes). Если же Image366.gif (1241 bytes), то Image367.gif (961 bytes) более высокого порядка малости, чемImage368.gif (950 bytes) ; обозначают Image369.gif (1144 bytes). Бесконечно малые функции Image370.gif (950 bytes) и Image371.gif (961 bytes)называются бесконечно малыми одного порядка малости, если Image372.gif (1372 bytes) , обозначают Image373.gif (1152 bytes) .  И, наконец, если  Image379.gif (1184 bytes) не существует, то бесконечно малые функции Image380.gif (950 bytes)и Image381.gif (961 bytes) несравнимы.  

ПРИМЕР 2.  Сравнение бесконечно малых функций

Эквивалентные бесконечно малые функции.

Если Image374.gif (1232 bytes), то бесконечно малые функции Image375.gif (950 bytes)и Image376.gif (961 bytes) называются эквивалентными, обозначаютImage377.gif (950 bytes) ~Image378.gif (956 bytes) .

ПРИМЕР 3.  Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

© 2008-2016
Админ