Бесконечно малая функция.

Рассмотрим функцию, определенную в некоторой окрестности точки , ,  за исключением, быть может, самой точки . Функция называется бесконечно малой при , стремящемся к , если . Если — бесконечно малая в точке , то для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство . Неравенства для всех , эквивалентные неравенствам , , означают, что для любого существует такое , что для график функции расположен на плоскости в прямоугольнике . Важно, что слова “за исключением, быть может, самой точки ” означают, что нас не интересует сама эта точка. Это можно понять, если рассмотреть функцию.  При x, стремящемся к нулю, функция-таки стремится к нулю, независимо от того, какое значение она принимает в точке x=0. Следовательно, предел равен нулю и функция является бесконечно малой.  

ПРИМЕР 1. Бесконечно малые функции

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть и — две функции, бесконечно малые в точке . Если , то говорят, что более высокого порядка малости, чем и обозначают . Если же , то более высокого порядка малости, чем ; обозначают . Бесконечно малые функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , обозначают .  И, наконец, если  не существует, то бесконечно малые функции и несравнимы.  

ПРИМЕР 2.  Сравнение бесконечно малых функций

Эквивалентные бесконечно малые функции.

Если , то бесконечно малые функции и называются эквивалентными, обозначают ~ .

ПРИМЕР 3.  Таблица эквивалентных бесконечно малых функций